Mortalité aux âges extrêmes

Au XVII^e siècle (et peut-être encore au début du XVIII^e), la mortalité aux âges très élevés (supérieurs à 70 - 75 ans) semble échapper à la loi de Gompertz telle qu’on peut la déterminer entre 25 et 75 ans.

Une analyse particulière est alors nécessaire. Elle est rendue incertaine par l'extrême réduction des effectifs des mourants aux âges très élevés. A titre d'exemple, dans la première moitié du XVIII^e siècle, la courbe de survie de la population montre que les survivants à 70 ans représentent moins de 8 % de la population, ceux de 80 ans et plus ne représentent que moins de 1 %.

Le principe, s’apparentant à la méthode connue des démographes sous le nom de « Méthode des générations éteintes », consiste non pas à partir des plus jeunes et de les regarder disparaître progressivement avec l’âge mais au contraire de partir du mourant le plus âgé (le seul dont on connaît bien le coefficient de mortalité de 1,00 mais dont l’âge au décès présente un caractère extrêmement aléatoire) et d’observer le nombre des survivants et des mourants aux âges de décès décroissants.

Le nombre des décès que l’on rencontre dans la première moitié du XVII^e siècle, prise pour exemple caractéristique, aux âges compris entre 50 ans et 87 ans (âge du dernier mourant) est donné dans le graphique ci-contre.

Les nombres de décès observés (en rouge) sont naturellement très dispersés du fait du nombre très réduit des décès constatés. Un lissage peut cependant être réalisé (ici par un simple polynôme). On déduit de la courbe de lissage (en bleu) le nombre de survivants à chaque âge, puis les coefficients de mortalité lissés correspondants.

Cette méthode, efficace aux âges inférieurs à 80 ans, présente encore quelques difficultés au-delà du fait de l’extrême réduction des effectifs, eux-mêmes soumis à une très forte variabilité, en particulier celle de l’âge au décès du dernier survivant.

Le graphique ci-contre permet la comparaison entre la loi de Gompertz ajustée sur les âges de 25 à 75 ans et extrapolée jusqu’à 90 ans (en bleu) et celle établie par la méthode décrite ci-dessus entre 60 et 87 ans (en rouge). Les quotients de mortalité supérieurs à 0,55 sont pris en compte dans l'ajustement du modèle mais non portés sur la graphique car dépourvus de signification statistique réelle.

La loi de mortalité constatée s’écarte progressivement de la loi de Gompertz à partir de 62 ans pour tendre vers une asymptote verticale pour les tout derniers mourants comme s’il est impossible à l'époque de dépasser un certain âge. Pour assurer le raccordement de la loi établie par ce modèle à celle de Gompertz-Makeham, on définit la transition à l'âge où les deux courbes deviennent tangentes ou se croisent (un peu comme il est fait dans la « Méthode des générations éteintes ».

Le modèle polynomial comporte 4 paramètres dont le nombre pourrait être réduit.

Nous utilisons cette modification de la loi de Gompertz dans le seul but d'améliorer la définition d'un modèle numérique général de mortalité pour les âges de décès très élevés (soit 10 à 15 % des décès) dans l'époque des naissances antérieurs à 1725.