Le produit de convolution

Le procédé de calcul présenté ici, appelé produit de convolution (il comprend effectivement beaucoup de multiplications !), est de portée très générale et peut être appliqué à bien des cas d'études démographiques.

Un exemple concret, simple... et fictif pour commencer

Suite à l’incendie au village de l'Eglise le 13 avril 1846, 7 maisons sont à reconstruire. Suivant leurs moyens, 3 propriétaires comptent le faire dès 1846, 2 en 1847, 1 en 1848 et 1 en 1849.

Pour chaque maison ces reconstructions conduisent à des travaux étalés dans le temps et nécessitent 8 poutres de sapin : 5 l’année de début des travaux (année 0), 2 l’année suivante (année 1) et 1 la troisième année (année 2).

Le charpentier de Fontcouverte calcule qu’il devra fournir 7 fois 8 poutres soit 56 au total ce qui est un gros travail. Mais il sait que sa peine sera étalée dans le temps et veut calculer combien il devra fournir de poutres chaque année qui vient. Parions qu’il saura faire ce calcul avec son bon sens et sans bagage mathématique important !

De notre côté nous savons que la « chronique » des reconstructions est la suivante :

Année de début des travaux	1846	1847	1848	1849	Total
Nombre de maisons	3	2	1	1	7

Le « signal » donnant le nombre de poutres à livrer pour une maison pendant les années de travaux est :

Planning pour une maisons	Année 0	Année 1	Année 2	Total
Nombre de poutres à fournir	5	2	1	8

Le nombre de poutres à fournir chaque année pour la totalité des maison est donné dans le tableau suivant dans lequel les couleurs des nombres rappellent leur origine dans les tableaux ci-dessus :

		Nombre de poutres à fournir en
Début des travaux	Nombre de maisons	1846	1847	1848	1849	1850	1851
1846	3	5x3	2x3	1x3
1847	2		5x2	2x2	1x2
1848	1			5x1	2x1	1x1
1849	1				5x1	2x1	1x1
Total	7	15	16	12	9	3	1

Dans chaque case du tableau on trouve le produit du signal (en bleu) des poutres pour chaque maison par la chronique (en rouge) des reconstructions des maisons, le signal glissant dans le temps suivant la chronique.

Le nombre total de poutres à fournir chaque année est le produit de convolution de la chronique des reconstructions par le signal de fourniture pour chaque maison : beaucoup de multiplications et quelques additions.

Une application plus sérieuse (et plus complexe) pour la démographie

Connaissant le nombre de naissances annuelles observées une année civile A et les suivantes, on cherche à déterminer le nombre des décès annuels qui surviendront à partir de l'année A. Le « signal » est constitué des quotients annuels de mortalité aux âges croissants tels que connus à l'époque de A (le quotient annuel de mortalité à l'âge a est le rapport du nombre de morts à l'âge a à celui des survivants à l'âge a - 1).

Quant à la « chronique » du nombre des naissances de l'année A et des suivantes, elle ne peut être utilisée directement du fait de la définition des quotients q du signal. Partant du nombre de naissances de chaque année de la chronique, il faut calculer pour chaque année d'âge de décès :

le nombre de décès parmi les survivants de l'année précédente,
le nombre des survivants en fin d'année.

Le calcul du nombre de morts et de survivants pour une année où Nn naissances sont enregistrées est alors le suivant :

Age de décès	Nombre de morts	Nombre des survivants (Reste)
0	Nn * q₀	Nn * q₀ *(1-q₀)
1	Nn * Reste₀ * q₁	Nn * (Reste₀ - Reste₀ * q₁) = Nn * Reste₀ * (1 - q₁)
2	Nn * Reste₁ * q₂	Nn * (Reste₁ - Reste₁ * q₂) = Nn * Reste₁ * (1 - q₂)
3	Nn * Reste₂ * q₃	Nn * (Reste₂ - Reste₂ * q₃) = Nn * Reste₂ * (1 - q₃)
...	...	...
n	Nn * Reste_n-1 * q_n	Nn * (Reste_n-1 - Reste_n-1 * q_n) = Nn * Reste_n-1 * (1 - q_n)

Le nombre de morts issus des naissances d’une succession d’années civiles telles que A, A + 1, A + 2, …, A + p - 1 (p étant le nombre d'années portées dans la chronique) s’obtient :

en calculant, suivant le principe du tableau précédent, les morts aux âges a = 0, 1, 2, …, n de chaque année civile, n étant l'âge de décès du dernier mourant (partie produit du produit de convolution),
en distribuant ces morts dans les années civiles concernées A + a (partie glissement du produit de convolution),
en faisant la somme des valeurs distribuées à chacune de ces années civiles (partie somme du produit de convolution).

On obtient alors une chronique fictive des décès des natifs de Fontcouverte s'ils mouraient bien tous dans leur communauté.

Un produit de convolution, simple en principe, peut devenir parfois plus complexe mais bien utile !